掛け算の順序は「踏み台」

まず確認しておくが、少なくとも一般的な意味において、掛け算は順序を変えても結果は変わらない。A×B=B×Aだ。行列の掛け算では成り立たないが、小学校で算数を教える際にはほぼ無関係といってよい。

これに対し、順序があるとする派の人たちは反論する。たとえばこんなふうに。

私にはこの読み方自体が恣意的に思える。もちろん、「左側を1つ分、右側をいくつ分と読む」という約束を先に置けば、4×2は「4本ずつが2つ」と読める。しかし、それは4×2という式そのものから必然的に導かれる意味ではなく、あらかじめ採用した表記上の約束によるものである。4×2を「4匹いるうさぎにそれぞれ2つの耳がある」ととらえることも、総数を求める方法としては何ら不自然ではない。そう考えれば、4×2は「4本の耳が生えたウサギが2羽いる」ではない。あたりまえではないか。

なぜこんな不思議なロジックが出てくるのか長い間わからなかったのだが、最近ようやくわかった。この人たちは「掛け算に順序がある」というより、「掛け算問題の記述方法に順序がある」と考えているのだ。なぜそうなるのか。文部科学省の『小学校学習指導要領解説 算数編』にヒントがある [1]。こんな図が出ている。

図

指導要領解説は、この図について次のように説明している。

つまりこの説明では、「1皿あたり5個」というまとまりを先に取り出し、その4皿分として5×4と表す方が、日常生活の場面を式に表す方法として自然だと考えているらしいのだ。

私にはこれが十分な説明になっているようには思えない。少なくとも、図の見方は1つではない。私はこの図を見ると、まず4つの皿が並んでいることに目が向く。「1つの皿にみかんが5つ載っている」ではない。次に、それぞれの皿にみかんがいくつ載っているか、皿を順番に見て数えていくだろう。すべての皿にみかんが同じ数だけ載っている保証はないからである。すべての皿に5つのみかんが載っていることが確認できたらそこで初めて「全部でいくつか」を計算できる。であれば、人がこの図を認識する自然な流れに沿って数式化するなら、むしろ4×5=20の方が近いのではないか。数量の意味を理解することとは、「1つ分」を「1つの皿のみかんの数」と考えることと同義ではないのだ。少なくとも、5×4だけが自然だという主張には、十分な説得力があるようには思えない。

とはいえ『小学校学習指導要領解説 算数編』に「掛け算の順序をまちがえたらバツをつけよ」と書かれているわけではない。むしろ「乗法の計算の結果を求める場合には、交換法則を必要に応じて活用し、被乗数と乗数を逆にして計算してもよい」と書かれている。つまり、「文章題を数式で表現する段階では『1つ分×いくつ分』を意識させる」が、「計算では交換法則を使ってよい」と区別しているのである。また「海外在住経験の長い児童などへの指導に当たっては，「４×100 ｍリレー」のように，表す順序を日本と逆にする言語圏があることに留意する」ともあり、逆の順序で教えられている子がいることも認識していることがわかる。

それでも「式の順序を逆に書いたらバツにされた」という例が繰り返し報告されるのはなぜだろう。個々の事例や投稿者の属性の真偽には注意が必要だが、同様の体験談が繰り返し現れ、順序による採点を擁護する主張も継続的に見られることから、少なくとも一部では、式の順序そのものを正誤判定の対象とする運用が行われている可能性は高い。なぜそうなるのか。

興が乗ったのでちょっと調べると、掛け算を教える際に「1つ分×いくつ分」という順序で統一する考え方のルーツは戦前に遡る。算数教科書は明治後期までの検定期、明治後期以降の国定期、戦後の検定期に分けられるが、1905（明治38） 年から使用された最初の国定教科書である、いわゆる「黒表紙教科書」の教師用教科書（尋常小学校では児童向けの教科書はなく、教師用書をもとに授業が行われていた）では、計算はその意味を問うことなく、数の操作として行うという方針であった。これについて岸本（2018）は、「数とその計算は無関係としていることである。例えば，80 × 3 は「80 の3 個分」として意味づけられるが，80 × 2.7 は「80 の2.7 個分」とは言えない。このように数の意味と計算の意味を関係づけようとすると不都合が生じるため，そのような関係づけをしないことを宣言している」と説明する [2]。2×3 と3×2 が並んでいるなど、被乗数・乗数の固定を必ずしも重視してはいなかった [3]。

しかしその後、計算の意味を重視する方向へ変わっていく。1935（昭和10）年から使われた昭和初期の国定教科書であるいわゆる「緑表紙教科書」のうち、1937年刊の『尋常少學算術 第二學年教師用 上』[4]では意味指導の重要性が指摘されている。掛け算の順序は第6章「掛算九九」で明確にルール化されているのだが、その説明が興味深い。9×9の「總九九」すなわちふつうの九九と、交換法則を前提に被乗数と乗数を入れ替えた部分を省略する「制限九九」（現在は「半九九」と呼ぶ）を比較して「總九九」を採用する理由として、「掛算に於ける交換の法則を必要としないから、その構成が單純であ」る、としているのである。

曰く、

など、順序を決めて指導することを教師に求めている。

この緑表紙教科書は名著とされ、現在まで影響力をもっているという [5][6]。これにより体系化された「意味を重視し、被乗数と乗数の順序を初期段階で統一する」という考え方は、その後の算数教育にも大きな影響を与えたとされる。しかし、おそらくこうした歴史的経緯だけが原因ではない。算数をまったく知らない子どもにとって、「文章を数式に翻訳する」という作業が想像以上に難しい、と少なくとも現場の教師たちは考えているからだろう。「りんごが5個ずつ入った箱が6箱あります」という文章を見て「5がひとつ分」「6がいくつ分」という対応を整理できる子もいれば、それがなかなか理解できない子もいるのだとすれば、順序を決めて覚えさせる方が有益だという判断なのかもしれない。

教育学には「足場かけ（scaffolding）」という考え方がある。学習者が一人ではまだ難しい課題に取り組む際、一時的に補助となる枠組みや手順を与え、十分に理解できた段階でその補助を外していくという考え方である。これはレフ・ヴィゴツキーの最近接発達領域を理論的背景として、その後ジェローム・ブルーナーらによって提案された教育理論として広く知られている [7][8]。

もし「1つ分×いくつ分」という約束が、この「足場」として機能しているのであれば、その限りにおいて、その効用自体を否定する理由はない。実際、数量を「1つ分の大きさ」と「いくつ分」に分けて考えること自体は、包含除と等分除、割合、単位量当たりの大きさなどを理解する基礎にもなる。教師が一定の型を示したくなる理由も理解できる。ただし、その区別を理解することと、何を「1つ分」とするかは別の問題である。

また、それはあくまで「足場」である。建物が完成したあとも足場を外さなければ、かえって建物の利用の邪魔になる。教育でも同じだろう。数の意味を理解し、異なるまとまり方で式を立てられる子どもまで、「逆に書いたからまちがい」と評価してしまえば、本来取り払うべき足場が、いつの間にか目的そのものへとすり替わり、ついには子どもを罰し算数から遠ざけるムチにすらなってしまう。

ここで「足場」を、もっと身近な「踏み台」にたとえてみよう。小さい子が高いところにあるものを取りたければ踏み台を使おうとするだろう。手がまだ届かない子には踏み台が必要だし有効である。一人で乗ったら危ないと思えば周囲の大人が体を支えてあげるかもしれない。一方で、すでに手が届く子にまで必ず踏み台に乗れと強制すれば、かえって邪魔になる。掛け算の順序も、それと同じように考えられないだろうか。理解が十分でない子どもには、「1つ分×いくつ分」という足場を使えばよいし、どれを1つ分とするかも決めてあげるとよい。そういう子が大半を占める教室なら、まずそのやり方で教えるのも悪くないだろう。学校は個別教育ではないから、一人ひとりに異なる教え方をすることは現実的には難しい。その事情も十分理解できる。

しかし、最初から交換法則を理解している子もいるだろう。多数派ではないかもしれないが、学校で正式に習う前から、家庭学習などを通じて掛け算を知っている子が一定数いることも想像に難くない。九九をすべて覚えた子なら、交換法則に自分で気づくことも少なくないはずだ。目の前の数字を式として組み立てるかことができ、交換法則を理解したうえで教えられた順序とは逆の式を書いた子を、どのような考え方でその式を立てたのかを確認もせずにバツをつける行為が実際に教育現場で行われているとすれば、それは果たして教育的に適切なのだろうか？

教師が教えたのとはちがう考え方をすることで初めて理解できる、という子もいるかもしれない。上の図を見て、「みかんが5つ載った皿1枚」というまとまりが4つあるととらえれば5×4となり、「4つの皿」というまとまりのそれぞれに5個ずつみかんが載っているととらえれば4×5となる。2つの数が表す対象は同じでも、何をひとまとまりとして数えるかによって、被乗数と乗数の役割は入れ替わり得る。つまり、何を被乗数とし、何を乗数とするかは見方によって異なる場合があり、書かれた式の順序が教師の思うものと逆だったとしても、その子が掛け算を正しく理解していないと決めつけることはできない。

実は、同じ配列を異なるまとまり方でとらえ、2通りの式に表せることは、、緑表紙教科書の教師用諸に既に書かれている。先に引用した部分のあとにこういった文章がある。

緑表紙教科書が高く評価される理由の1つは、算数を数の形式的操作ではなく、児童の生活場面から数理を見いだすことを重視した点である。意味指導の重視もその観点から出てくるものであって、少なくとも、導入時に定めた順序をその後も機械的に固守させたり、複数の妥当な見方の一方だけを正解としたりする考え方はとっていない。

小学校教育の目的は、その時間のテストで○を取らせることではない。教育は小学校で終わるわけではない。十数年にわたる学びの出発点として、またその後数十年にわたる人生を生きていく術として、子どもたちが算数や数学を使って考えられるようになることが、本当の目的だろう。そのためには、理解がゆっくりな子どもを支えることも重要である。しかし同時に、すでに理解している子ども、教師とはちがうやり方で正解にたどりついた子どもの知的好奇心や探究心、学ぶ意欲を損なわないことも同じくらい重要である。

算数が好きな子どもには、そのまま数学が好きな子どもに育ってほしい。その中から将来の研究者や技術者が生まれるかもしれない。教師とちがう考え方で正解を導いた子の中から、誰も考えつかなかったイノベーションを生み出す人が出てくるかもしれない。初学者の理解を支えるための共通の型は有効だろう。しかし、それを理解を先へ進めた子どもにも一律に強制し、別の正当な考え方を誤りとして退けるなら、その子の探究心や数学的な柔軟性を損なうおそれがある。

踏み台を必要とする人はいるが、踏み台を不可侵のルールにしてはならない。踏み台を必要としていない子、教師が用意したのとは別の踏み台を見つけて乗った子を、「教師が用意した踏み台を使っていない」という理由で罰してはならない。

掛け算の順序論争は、実は掛け算そのものの問題ではない。教育において「足場」はあくまで成長を助けるための道具であって、守ること自体を目的とすべきものではない。その足場をいつ外すべきなのか。そして、一人ひとり異なる理解の段階に、学校教育はどう向き合うべきなのか、という問題なのである。

私には、こちらの方がずっと本質的な問いのように思える。

参考文献

[1] 文部科学省（2017）『小学校学習指導要領（平成29 年告示）解説 算数編』

[2] 岸本忠之（2018）「算数科教科書における小数の乗法の歴史的変遷：『黒表紙教科書』から『算数』までを分析対象として」『富山大学人間発達科学部紀要』13(1): 15-25.

[3] 伊藤真治（2010）「明治末期のかけ算九九教授案に見られる共通点─― 教師の授業構想に着目して―─」『滋賀大学教育学部紀要　教育科学』60: 143-153.

[4] 文部省（1937）『尋常少學算術 第二學年教師用 上』

[5] 松宮哲夫（2007）『伝説の算数教科書〈緑表紙〉 塩野直道の考えたこと』岩波書店

[6] 松宮哲夫（2008）「緑表紙と塩野直道の数学教育思想」『日本数学教育学会誌』49(1-2): 1-16.

[7] 今井康晴（2008）「ブルーナーにおける「足場かけ」概念の形成過程に関する一考察」『広島大学大学院教育学研究科紀要』第一部 57: 35-42.

[8] Wood, D., Bruner, J.S. and Ross, G. (1976), “The role of tutoring in problem solving.” Journal of Child Psychology and Psychiatry, 17: 89-100. https://doi.org/10.1111/j.1469-7610.1976.tb00381.x